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【中学数学】因数分解のひけつ

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因数分解をまなぶ意味

数学の中でも因数分解が苦手な人は多いと思います。その理由の一つに「なぜ因数分解を学ぶのか意味が分からない」というのがあるでしょう。

 

なぜ、因数分解をまなぶのか。実は、そのあとでならう二次方程式や二次関数で使うからです。

 

二次関数は、理系にすすめばずっとお世話になる基本中の超基本です。たしかに、私立大の文系に進めば二度と必要ないかもしれませんが、そうすると自動車を含めた物体の運動や利子の計算も理解できなくなってしまうので、文系に進む人も最低限身につけておいてほしい知識です。

 

数学が苦手な人にとって因数分解は逆転のチャンス

通常のカリキュラムでは中学3年生の1学期にならう因数分解ですが、中学3年生の1学期は、都立高校をはじめとする多くの公立高校で調査書(いわゆる内申点)に成績が加味される重要な時期です。

 

そして、実は因数分解は数学があまり得意でない人にとって大きなチャンスです。なぜなら、中学2年生までに学習した図形や確率はもちろん、一次関数や比例、さらにはなんと一次方程式も関係なく学習を始めることができるからです。もっというと、分数の計算もほとんど出てきません。

 

つまり、それまで数学が嫌いで数学から逃げていた人も、中学3年生になって受験を意識しはじめ、これから頑張ろうと思った人でも好成績をとれる、それが因数分解なのです。

 

中学校の数学のカリキュラムを作った人がそこまで考えていたかどうかは分かりませんが、中学3年生から勉強を始める人でも希望が持てるうまいカリキュラムになっていると思います。

 

因数分解をまなぶために必要な知識

 

それでは、因数分解に必要な知識とは何でしょうか。それは、正負の計算(特にマイナスを2回かけるとプラスになる)、文字式の簡単な計算(a×b=abや2乗)、そしてカッコついた簡単な計算、これだけです。

 

文字式の計算も、一次方程式でやっていたあの面倒くさい計算はほとんど出てきません。それでは、具体的に因数分解はどのような順番で勉強していけばいいのでしょうか。

 

まずは式の展開をマスターしましょう

 

数学の苦手な人でもできるようになる因数分解、まず最初にすることは展開の公式を完璧にマスターしてしまうことです。展開の公式は乗法のの公式とも呼ばれ、次の4つです。

  1. (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab 
  2. (x+a)^2=x^2+2a+a^2
  3. (x-a)^2=x^2-2a+a^2
  4. (x+a)(x-a)=x^2-a^2

 この5つの公式をマスターしてしまえば、因数分解の8割はマスターしたといってもいいでしょう。なぜなら、因数分解は展開の公式を逆に使うだけだからです。

 

ただ、ここで重要なのはこの展開の公式を覚えるだけではだめだということです。覚えたうえで、何度も計算の練習をして考えなくても勝手に手が動くレベルにまでしてしまいましょう。

 

因数分解が苦手な人の多くは、公式をなんとなく覚えただけで満足してしまっています。これが因数分解が苦手なままで終わってしまう理由です

 

式の展開はすべての公式をつかおう

因数分解が苦手になる人の中にすべての公式を使おうとしない人がいます。たとえば、3.の公式は1.の公式から簡単に導けるので、3.の公式を使わないで1.の公式を使う人がいます。

 

たしかに、基本問題はそれでも解けるのでいいような気がする(数学の解法は一つではない!)のですが、もっと難しい問題になったときにこれではゆきづまります。

 

たとえば、3×5の計算は九九を覚えてなくても3+3+3+3+3とすればできます。でも、いちいちこんなことをしていると複雑な計算をするのにとても時間がかかりますし、計算間違えをする可能性が高くなるのは明らかでしょう。

 

これと同じことが展開の公式についてもいえるのです。特に、2.3.の公式、4の公式はそれぞれ平方公式、2乗の差の公式といって応用問題を解くときにも大変よく使う公式なので、ぱっと見ただけで公式が適用できるまで練習しましょう。

 

因数分解に必要な公式は4つだけ

先ほども書いたように因数分解は展開の反対です。したがって、5つの展開の公式をマスターしてしまえば、あとは簡単です。

  1. x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 
  2. x^2+2a+a^2=(x+a)^2
  3. x^2-2a+a^2=(x-a)^2
  4. x^2-a^2=(x+a)(x-a)

最初に共通因数でくくって展開の公式を逆に当てはめればいいだけです。

 

まとめ

どうでしたか。苦手な人も多い因数分解。実は中学数学の中でももっとも取り組みやすい単元だということが分かってもらえたと思います。

 

とにかく、公式を何となく覚えるだけではだめで、パッと見るとどの公式を使えばいいか分かって、手が勝手に動くまで練習しましょう。そういうと大変そうですが、公式はたった5つなので、ほかの単元に比べれば簡単ですよ。